Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042460

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, $O$ — точка пересечения диагоналей, $AC\perp BD$.

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. Средняя линия дана, значит, нужно найти высоту.

Сначала покажу, что треугольники $AOD$ и $BOC$ равнобедренные. Треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по трём сторонам: $AB=DC$ (трапеция равнобедренная), $BD=CA$ (диагонали равнобедренной трапеции равны), $AD$ — общая. Поэтому $\angle ADB=\angle DAC$, то есть $OA=OD$. Так же $OB=OC$.

Угол при вершине $O$ у этих треугольников прямой, значит, оба они прямоугольные и равнобедренные.

Проведу через $O$ высоту трапеции $KL$ ($K$ на $BC$, $L$ на $AD$). В равнобедренном треугольнике $AOD$ высота $OL$ является и медианой, а медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине: $OL=\dfrac{AD}{2}$. Точно так же $OK=\dfrac{BC}{2}$.

$$KL=OK+OL=\dfrac{BC+AD}{2}=7.$$

Высота равна средней линии, поэтому

$$S=7\cdot7=49.$$

В общем виде, как в исходной задаче: $S=a^2$.

Проверю другим способом. Проведу $CE\parallel BD$ до пересечения с прямой $AD$. Четырёхугольник $BCED$ — параллелограмм, поэтому $DE=BC$ и $CE=BD=AC$. Треугольник $ACE$ прямоугольный (угол $C$ прямой, ведь $CE\parallel BD\perp AC$) и равнобедренный, его гипотенуза $AE=AD+BC=14$. Высота из $C$ — медиана к гипотенузе, она равна $7$, и площадь $\triangle ACE=\dfrac12\cdot14\cdot7=49$. Площадь треугольника $ACE$ равна площади трапеции: треугольники $ABC$ и $CDE$ имеют равные основания $BC=DE$ и общую высоту. Совпало.