Трапеция — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042459

Диагональ $AC$ делит трапецию на треугольники $ABC$ и $ACD$. Чтобы воспользоваться подобием, сначала пойму, какие углы у них соответствуют друг другу.

Основания параллельны, поэтому $\angle ACB=\angle CAD$ как накрест лежащие углы при прямых $BC$, $AD$ и секущей $AC$. Одна пара равных углов есть.

Угол $A$ трапеции острый, а $\angle A+\angle B=180^\circ$ (односторонние углы при боковой стороне $AB$), значит, угол $ABC$ тупой. Раз у треугольника $ABC$ есть тупой угол, то и у подобного ему треугольника $ACD$ должен быть тупой угол.

Углы $CAD$ и $ADC$ треугольника $ACD$ острые: $\angle CAD$ — часть острого угла $A$ трапеции, а $\angle ADC$ острый по условию. Значит, тупой — угол $ACD$, и $\angle ABC=\angle ACD$.

Получаю соответствие вершин: $B\to C$, $C\to A$, $A\to D$, то есть $\triangle BCA\sim\triangle CAD$. Записываю отношение соответственных сторон:

$$\dfrac{BC}{CA}=\dfrac{CA}{AD}.$$

Отсюда $AC^2=BC\cdot AD=9\cdot16=144$, и $AC=12$.

В общем виде, как в исходной задаче: $AC=\sqrt{ab}$ — среднее геометрическое оснований.

Проверю, что такая трапеция существует, и пересчитаю углы. Коэффициент подобия $\dfrac{BC}{CA}=\dfrac{9}{12}=\dfrac34$, поэтому $AB=\dfrac34\,CD$. Возьму, например, $CD=8$, тогда $AB=6$.

В треугольнике $ACD$ со сторонами $12$, $16$, $8$: $\cos\angle ACD=\dfrac{12^2+8^2-16^2}{2\cdot12\cdot8}=\dfrac{-48}{192}=-\dfrac14$ — угол тупой.

В треугольнике $ABC$ со сторонами $6$, $9$, $12$: $\cos\angle ABC=\dfrac{6^2+9^2-12^2}{2\cdot6\cdot9}=\dfrac{-27}{108}=-\dfrac14$ — тот же тупой угол, и $\cos\angle ADC=\dfrac{16^2+8^2-12^2}{2\cdot16\cdot8}=\dfrac{176}{256}\gt0$ — угол при $AD$ острый. Всё сходится.