Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00043268

Задание №1. Планиметрия

Треугольники общего вида

№2. Задание 1

ID: 00043268

В треугольнике $$ABC$$ средняя линия $$DE$$ параллельна стороне $$AB$$ . Найдите площадь треугольника $$ABC$$ , если площадь трапеции $$ABED$$ равна 36.

Рисунок к заданию 1 ЕГЭ по математике — Треугольники общего вида

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Средняя линия $$DE$$ отрезает от треугольника $$ABC$$ маленький треугольник $$CDE$$ , подобный большому: стороны $$CD$$ и $$CE$$ — половины сторон $$CA$$ и $$CB$$ , а $DE\parallel AB$ .

Коэффициент подобия $\dfrac12$ . Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента: $\left(\dfrac12\right)^{2}=\dfrac14$ . Значит, треугольник $$CDE$$ занимает четверть площади $$ABC$$ .

На трапецию $$ABED$$ остаётся $1-\dfrac14=\dfrac34$ площади треугольника. Пусть площадь $$ABC$$ равна $$S$$ :

$\dfrac34S=36\quad\Rightarrow\quad S=36\cdot\dfrac43=48.$

Проверим: маленький треугольник $\dfrac{48}{4}=12$ , и $$12+36=48$$ — всё сходится.

Ответ

Другие задания по теме «Треугольники общего вида» (8)