Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042429

Каждая сторона, умноженная на проведённую к ней высоту, даёт удвоенную площадь: $a\cdot h_a=b\cdot h_b=c\cdot h_c=2S$. Значит,

$$a=\dfrac{2S}{h_a}=\dfrac{6S}{7},\qquad b=\dfrac{2S}{h_b}=\dfrac{8S}{7},\qquad c=\dfrac{2S}{h_c}=\dfrac{10S}{7}.$$

Стороны относятся как $6:8:10=3:4:5$. Так как $3^2+4^2=5^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный с прямым углом $C$ — против наибольшей стороны $c$.

Найду площадь. Для прямоугольного треугольника $S=\dfrac12ab$:

$$S=\dfrac12\cdot\dfrac{6S}{7}\cdot\dfrac{8S}{7}=\dfrac{24S^2}{49}\quad\Rightarrow\quad S=\dfrac{49}{24}.$$

Катеты: $a=\dfrac67\cdot\dfrac{49}{24}=\dfrac74$, $b=\dfrac87\cdot\dfrac{49}{24}=\dfrac73$. Сверка: в прямоугольном треугольнике высота к катету — это другой катет, и действительно $h_a=\dfrac73=b$, $h_b=\dfrac74=a$.

$CD$ — биссектриса прямого угла. Площадь треугольника складывается из площадей треугольников $ACD$ и $BCD$, в каждом из которых угол при $C$ равен $45^\circ$:

$$\dfrac12ab=\dfrac12\cdot b\cdot CD\cdot\sin45^\circ+\dfrac12\cdot a\cdot CD\cdot\sin45^\circ\quad\Rightarrow\quad CD=\dfrac{ab}{(a+b)\sin45^\circ}=\dfrac{ab\sqrt2}{a+b}.$$

Подставляю: $ab=\dfrac74\cdot\dfrac73=\dfrac{49}{12}$, $a+b=\dfrac74+\dfrac73=\dfrac{21+28}{12}=\dfrac{49}{12}$. Значит, $CD=\sqrt2$ и $CD^2=2$.

Проверю координатами. $C=(0;0)$, $B=\left(\dfrac74;0\right)$, $A=\left(0;\dfrac73\right)$. Биссектриса прямого угла — прямая $y=x$; прямая $AB$: $\dfrac{x}{7/4}+\dfrac{y}{7/3}=1$, то есть $4x+3y=7$. При $y=x$ получаю $7x=7$, $x=1$. Точка $D=(1;1)$, $CD^2=1+1=2$ — совпадает. И высота к гипотенузе: $c=\sqrt{\dfrac{49}{16}+\dfrac{49}{9}}=\dfrac{35}{12}$, $h_c=\dfrac{ab}{c}=\dfrac{49}{12}:\dfrac{35}{12}=\dfrac75$ — как в условии.