Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042451

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. Поэтому $BO$ и $CO$ делят углы $B$ и $C$ пополам, и в треугольнике $BOC$ углы при вершинах $B$ и $C$ равны $\dfrac{\angle B}{2}$ и $\dfrac{\angle C}{2}$.

По теореме о сумме углов треугольника $BOC$:

$$\angle BOC=180^\circ-\dfrac{\angle B}{2}-\dfrac{\angle C}{2}=180^\circ-\dfrac{\angle B+\angle C}{2}.$$

Сумму $\angle B+\angle C$ выражу через третий угол треугольника $ABC$: $\angle B+\angle C=180^\circ-\angle A$. Тогда

$$\angle BOC=180^\circ-\dfrac{180^\circ-\angle A}{2}=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}.$$

Угол $A$ найду по теореме косинусов. Против угла $A$ лежит сторона $BC$, а прилежат к нему стороны $AB$ и $AC$:

$$\cos A=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{2+9-5}{2\cdot\sqrt2\cdot3}=\dfrac{6}{6\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}.$$

Косинус равен $\dfrac{\sqrt2}{2}$, значит, $\angle A=45^\circ$. Подставляю:

$$\angle BOC=90^\circ+\dfrac{45^\circ}{2}=90^\circ+22{,}5^\circ=112{,}5^\circ.$$

Проверю другим способом — найду углы $B$ и $C$ напрямую по теореме косинусов:

$$\cos B=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{2+5-9}{2\sqrt{10}}=-\dfrac{1}{\sqrt{10}},\qquad \cos C=\dfrac{BC^2+AC^2-AB^2}{2\cdot BC\cdot AC}=\dfrac{5+9-2}{6\sqrt5}=\dfrac{2}{\sqrt5}.$$

Отсюда $\operatorname{tg}B=-3$ и $\operatorname{tg}C=\dfrac12$. Тангенс суммы: $\operatorname{tg}(B+C)=\dfrac{-3+\frac12}{1-(-3)\cdot\frac12}=\dfrac{-2{,}5}{2{,}5}=-1$. Угол $B$ тупой, $C$ острый, их сумма меньше $180^\circ$, поэтому $B+C=135^\circ$.

Тогда $\angle BOC=180^\circ-\dfrac{135^\circ}{2}=180^\circ-67{,}5^\circ=112{,}5^\circ$ — совпало.