Треугольники… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042428

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AB$, $AC=BC$, а прямая проходит через вершину $A$.

Прямая через вершину $A$ отрезает от треугольника треугольник с той же вершиной $A$ и основанием на стороне $BC$. У таких треугольников общая высота из $A$, поэтому площади равны лишь при равных основаниях. Значит, прямая проходит через середину $M$ стороны $BC$: $BM=MC$.

Обозначу $BM=MC=a$, тогда боковые стороны $AC=BC=2a$. Прямая $AM$ делит периметр на две части: $AC+CM=2a+a=3a$ и $AB+BM=AB+a$. Какая из них равна $15$, а какая $21$, неизвестно, поэтому разберу оба случая.

Случай 1: $3a=15$. Тогда $a=5$, $AC=BC=10$, $AB=21-5=16$.

Случай 2: $3a=21$. Тогда $a=7$, $AC=BC=14$, $AB=15-7=8$.

Центр описанной окружности лежит вне треугольника только у тупоугольного треугольника. Тупым может быть лишь угол $C$ при вершине: углы при основании равнобедренного треугольника равны, и двух тупых углов в треугольнике не бывает. По теореме косинусов угол $C$ тупой, когда $AB^2\gt AC^2+BC^2$.

Случай 1: $AB^2=256$, $AC^2+BC^2=100+100=200$. Так как $256\gt200$, угол $C$ тупой — центр вне треугольника. Подходит.

Случай 2: $AB^2=64$, $AC^2+BC^2=196+196=392$, $64\lt392$ — треугольник остроугольный, центр внутри. Не подходит.

Площадь в случае 1 найду через высоту к основанию. В равнобедренном треугольнике она падает в середину основания, половина основания равна $8$:

$$h=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6,\qquad S=\dfrac12\cdot16\cdot6=48.$$

Проверю формулой Герона: полупериметр $p=\dfrac{15+21}{2}=18$, $p-AB=2$, $p-AC=p-BC=8$. $S=\sqrt{18\cdot2\cdot8\cdot8}=\sqrt{2304}=48$ — то же самое.