Центральные… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00043266

Связь хорды, радиуса и вписанного угла даёт теорема синусов: хорда равна $2R\sin\alpha$, где $\alpha$ — вписанный угол, опирающийся на эту хорду.

Подставим: $3\sqrt2=2\cdot\sqrt6\cdot\sin\alpha$. Отсюда

$$\sin\alpha=\dfrac{3\sqrt2}{2\sqrt6}=\dfrac{3}{2\sqrt3}=\dfrac{3\sqrt3}{2\cdot 3}=\dfrac{\sqrt3}{2}.$$

Синус равен $\dfrac{\sqrt3}{2}$ у двух углов треугольника: $60^\circ$ и $180^\circ-60^\circ=120^\circ$. Это углы, опирающиеся на хорду с разных сторон (их сумма $180^\circ$ — вместе они дают вписанный четырёхугольник).

Нужен тупой угол, это $120^\circ$.

Проверим другим способом: в треугольнике из центра и концов хорды стороны $\sqrt6$, $\sqrt6$, $3\sqrt2$. По теореме косинусов $\cos\angle O=\dfrac{6+6-18}{2\cdot 6}=-\dfrac12$, центральный угол $120^\circ$, острый вписанный — $60^\circ$, тупой — $180^\circ-60^\circ=120^\circ$.