Центральные… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042442

Пусть $AB$ — общая хорда. В первом круге (центр $Q$, радиус $R$) она стягивает дугу $60^\circ$, во втором (центр $O$, радиус $r$) — дугу $120^\circ$. Центральный угол равен угловой величине дуги, поэтому $\angle AQB=60^\circ$, $\angle AOB=120^\circ$.

Треугольник $AQB$ равнобедренный ($QA=QB=R$) с углом $60^\circ$ при вершине — значит, равносторонний: $AB=R$.

В треугольнике $AOB$ ($OA=OB=r$, угол при вершине $120^\circ$) опущу высоту из $O$: она делит основание пополам и угол пополам. Половина хорды $\dfrac{AB}{2}=r\sin60^\circ=\dfrac{r\sqrt3}{2}$, то есть $AB=r\sqrt3$.

Приравниваю: $R=r\sqrt3$. Больше круг с центром $Q$ — тот, в котором хорда стягивает меньшую дугу.

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, поэтому

$$\dfrac{S_{\text{б}}}{S_{\text{м}}}=\dfrac{\pi R^2}{\pi r^2}=\dfrac{3r^2}{r^2}=3.$$

Проверка теоремой косинусов: $AB^2=2r^2-2r^2\cos120^\circ=3r^2$ и $AB^2=2R^2-2R^2\cos60^\circ=R^2$, откуда $\dfrac{R^2}{r^2}=3$ — совпадает.