Центральные… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042284

Обозначу $\angle DEC=\beta$. Точка $E$ лежит на хорде $MC$ между $M$ и $C$, поэтому лучи $EM$ и $EC$ противоположны, а углы $DEM$ и $DEC$ — смежные:

$$\angle DEM+\angle DEC=180^\circ.$$

По условию $\angle DEM=4\beta$, значит, $4\beta+\beta=180^\circ$, $5\beta=180^\circ$, $\beta=36^\circ$.

Тогда $\angle CMK=\beta+26^\circ=36^\circ+26^\circ=62^\circ$.

Точка $E$ лежит на хорде $KD$, поэтому угол $CDE$ — это угол $CDK$. Он вписанный и опирается на дугу $CK$. На ту же дугу опирается вписанный угол $CMK$: хорды $KD$ и $MC$ пересекаются, поэтому точки $M$ и $D$ лежат по одну сторону от хорды $CK$. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны:

$$\angle CDE=\angle CDK=\angle CMK=62^\circ.$$

Проверка через сумму углов. В треугольнике $DEC$: $\angle DCE=180^\circ-36^\circ-62^\circ=82^\circ$. Вписанные углы $DCM$ и $DKM$ опираются на дугу $DM$, поэтому $\angle EKM=82^\circ$. В треугольнике $MEK$ угол $MEK$ вертикален углу $DEC$ и равен $36^\circ$, и $62^\circ+82^\circ+36^\circ=180^\circ$ — всё сходится.