Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00043263

Нам дан катет $BC=3$, противолежащий углу $A$, и косинус угла $A$. Искомый $AC$ — катет, прилежащий к углу $A$. Отношение противолежащего катета к прилежащему — это тангенс, поэтому найдём $\operatorname{tg}A$.

Сначала синус из основного тождества. $\cos^{2}A=\dfrac{4\cdot 5}{25}=\dfrac{20}{25}=\dfrac45$, значит, $\sin^{2}A=1-\dfrac45=\dfrac15$ и $\sin A=\dfrac{1}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}$.

Тангенс — синус, делённый на косинус:

$$\operatorname{tg}A=\dfrac{\sqrt5/5}{2\sqrt5/5}=\dfrac12.$$

С другой стороны, $\operatorname{tg}A=\dfrac{BC}{AC}$. Получаем $\dfrac{3}{AC}=\dfrac12$, откуда $AC=3\cdot 2=6$.

Проверим: гипотенуза $AB=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=\sqrt{45}=3\sqrt5$, и $\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{6}{3\sqrt5}=\dfrac{2}{\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}{5}$ — как в условии.