Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042405

Пусть $C$ — прямой угол, $BC=18$, $AC=24$. Гипотенуза по теореме Пифагора: $AB=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30$.

Меньший острый угол лежит против меньшего катета $BC=18$ — это угол $A$. Его биссектриса $AL$ выходит из вершины $A$ и падает на катет $BC$.

Биссектриса делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон:

$$\dfrac{CL}{LB}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{24}{30}=\dfrac45.$$

Катет $BC=18$ делится на $4+5=9$ частей по $2$, поэтому $CL=4\cdot2=8$.

Треугольник $ACL$ прямоугольный (угол $C$ прямой), и по теореме Пифагора

$$AL^2=AC^2+CL^2=576+64=640.$$

Проверю через тригонометрию. $\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac45$, по формуле половинного угла $\cos^2\dfrac{A}{2}=\dfrac{1+\cos A}{2}=\dfrac{9}{10}$. В прямоугольном треугольнике $ACL$ катет $AC$ прилежит к углу $\dfrac{A}{2}$, поэтому $AL=\dfrac{AC}{\cos\frac{A}{2}}$ и $AL^2=\dfrac{576}{9/10}=640$ — совпадает.