Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00043248

Ищем косинус угла $CAB$. Посмотрим на прямоугольный треугольник $AHC$: прямой угол в точке $H$, гипотенуза $AC=25$, катет $AH=4\sqrt6$.

Найдём второй катет $HC$ по теореме Пифагора. Сначала $\left(4\sqrt6\right)^{2}=16\cdot 6=96$, $25^{2}=625$:

$$HC=\sqrt{625-96}=\sqrt{529}=23.$$

Косинус острого угла — прилежащий катет, делённый на гипотенузу. Для угла $C$ прилежащий катет — это $HC$:

$$\cos C=\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{23}{25}=0{,}92.$$

Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC$), поэтому углы при основании $AC$ равны: $\angle CAB=\angle C$. Значит, и косинусы равны: $\cos\angle CAB=0{,}92$.

Проверим через основное тождество: $\sin C=\dfrac{4\sqrt6}{25}$, $\sin^{2}C=\dfrac{96}{625}$, и $\cos^{2}C=1-\dfrac{96}{625}=\dfrac{529}{625}$ — тот же результат.