Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042435

Пусть $C$ — вершина прямого угла, вписанная окружность касается катета $BC$ в точке $N$, катета $AC$ — в точке $M$, гипотенузы $AB$ — в точке $K$.

Сначала разберусь, какой из отрезков прилегает к вершине $C$. Предположу, что $CN=3$, $NB=5$, а потом проверю второй вариант.

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: $CM=CN=3$, $BK=BN=5$, $AM=AK=x$.

Стороны: $BC=3+5=8$, $AC=x+3$, $AB=x+5$. Теорема Пифагора:

$$(x+5)^2=8^2+(x+3)^2,$$

$$x^2+10x+25=64+x^2+6x+9,$$

$$4x=48,\qquad x=12.$$

Другой катет $AC=x+3=15$.

Второй вариант, $CN=5$, $NB=3$, невозможен: тогда $BC=8$, $AC=x+5$, $AB=x+3$, и уравнение $(x+3)^2=64+(x+5)^2$ даёт $-4x=80$, $x=-20$ — отрицательная длина.

Проверка: катеты $8$ и $15$, гипотенуза $AB=12+5=17$; $64+225=289=17^2$. Радиус вписанной окружности $r=\dfrac{8+15-17}{2}=3$ — он и должен равняться отрезку касательной из вершины прямого угла, $CN=3$.