Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042415

Обозначу прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть $BM$ — биссектриса острого угла $B$ (точка $M$ на катете $AC$), $CH$ — высота к гипотенузе, $N$ — точка пересечения $BM$ и $CH$. По условию $\dfrac{BN}{NM}=3+2\sqrt3$.

Рассмотрю прямоугольные треугольники $NHB$ (прямой угол при $H$) и $MCB$ (прямой угол при $C$). Их острые углы при вершине $B$ равны, ведь $BM$ — биссектриса: $\angle HBN=\angle CBM$. Значит, треугольники подобны, и отношение прилежащего катета к гипотенузе у них одинаковое:

$$\dfrac{BH}{BN}=\dfrac{BC}{BM}\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BN}{BM}.$$

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике $BHC$ (прямой угол при $H$) катет $BH$ прилежит к углу $B$, а $BC$ — гипотенуза, поэтому $\dfrac{BH}{BC}=\cos B$.

Остаётся найти $\dfrac{BN}{BM}$. Пусть $NM=t$, тогда $BN=(3+2\sqrt3)t$ и $BM=BN+NM=(4+2\sqrt3)t$:

$$\cos B=\dfrac{3+2\sqrt3}{4+2\sqrt3}.$$

Упрощу дробь. В числителе вынесу $\sqrt3$: $3+2\sqrt3=\sqrt3(\sqrt3+2)$. В знаменателе вынесу $2$: $4+2\sqrt3=2(2+\sqrt3)$. Скобки одинаковые, поэтому

$$\cos B=\dfrac{\sqrt3(\sqrt3+2)}{2(2+\sqrt3)}=\dfrac{\sqrt3}{2},\qquad \angle B=30^\circ.$$

Второй острый угол $\angle A=90^\circ-30^\circ=60^\circ$. Меньший из острых углов равен $30^\circ$.

Проверю обратным ходом. Если $\angle B=30^\circ$, то $\dfrac{BN}{BM}=\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$, и

$$\dfrac{BN}{NM}=\dfrac{\frac{\sqrt3}{2}}{1-\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{\sqrt3}{2-\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3(2+\sqrt3)}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}=\dfrac{2\sqrt3+3}{4-3}=3+2\sqrt3$$

— ровно как в условии.