Прямоугольной… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00043254

Угол $C$ прямой, и из него выходят два луча: биссектриса $CD$ и высота $CH$. Искомый угол $DCH$ — это «щель» между ними. Найдём, какой угол каждый луч образует со стороной $CB$, и вычтем.

Биссектриса делит прямой угол пополам: $\angle BCD=\dfrac{90^\circ}{2}=45^\circ$.

Высота $CH$ образует прямоугольный треугольник $CHB$ (прямой угол при $H$). Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают $90^\circ$, поэтому

$$\angle BCH=90^\circ-\angle B=90^\circ-67^\circ=23^\circ.$$

По рисунку $H$ лежит между $D$ и $B$, то есть высота ближе к стороне $CB$, чем биссектриса. Значит,

$$\angle DCH=\angle BCD-\angle BCH=45^\circ-23^\circ=22^\circ.$$

Проверим со стороны $CA$: $\angle A=90^\circ-67^\circ=23^\circ$, $\angle ACH=90^\circ-23^\circ=67^\circ$, $\angle ACD=45^\circ$, и $67^\circ-45^\circ=22^\circ$. Совпало.