Задание 1 ЕГЭ по математике №00043261

Нужен угол $CAD$ с вершиной $A$. Он вписанный и опирается на дугу $CD$. На ту же дугу опирается угол $CBD$ с вершиной $B$ — значит, эти углы равны.

Найдём угол $CBD$. Диагональ $BD$ делит угол $ABC$ на части $ABD$ и $DBC$:

$$\angle DBC=\angle ABC-\angle ABD=112^\circ-38^\circ=74^\circ.$$

Поэтому $\angle CAD=\angle CBD=74^\circ$.

Проверим: дуга $CD$ равна $2\cdot 74^\circ=148^\circ$, а дуга $AD$, на которую опирается $\angle ABD$, — $76^\circ$. Вместе $224^\circ$ — это дуга $ADC$, на которую опирается угол $ABC=112^\circ$, и $2\cdot 112^\circ=224^\circ$. Сходится.