Задание 1 ЕГЭ по математике №00042440

Пусть $K$ — точка пересечения диагоналей. Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

$$S=\dfrac12\cdot AC\cdot BD\cdot\sin\angle AKB=\dfrac12\cdot20\cdot25\cdot\sin\angle AKB=250\sin\angle AKB.$$

Чтобы найти синус, узнаю все стороны треугольника $AKB$.

Углы $ABD$ и $ACD$ вписанные и опираются на одну дугу $AD$, углы $AKB$ и $DKC$ вертикальные. Значит, $\triangle AKB\sim\triangle DKC$ с коэффициентом $\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{15}{24}=\dfrac58$, причём $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$.

Отсюда $\dfrac{AK}{DK}=\dfrac58$ и $\dfrac{BK}{CK}=\dfrac58$. Положу $AK=5x$, $KD=8x$, $KB=5y$, $KC=8y$. Длины диагоналей дают систему:

$$\begin{cases}AK+KC=5x+8y=20,\\ BK+KD=5y+8x=25.\end{cases}$$

Умножу первое уравнение на $8$, второе на $5$ и вычту: $64y-25y=160-125$, то есть $39y=35$, $y=\dfrac{35}{39}$. Тогда $5x=20-\dfrac{280}{39}=\dfrac{500}{39}$, $x=\dfrac{100}{39}$.

Стороны треугольника $AKB$: $AK=\dfrac{500}{39}$, $KB=\dfrac{175}{39}$, $AB=15=\dfrac{585}{39}$. Общий знаменатель на косинус угла не влияет, поэтому считаю с числами $500$, $175$, $585$ (а ещё удобнее — поделив их на $5$: $100$, $35$, $117$):

$$\cos\angle AKB=\dfrac{100^2+35^2-117^2}{2\cdot100\cdot35}=\dfrac{10000+1225-13689}{7000}=\dfrac{-2464}{7000}=-0{,}352.$$

Синус угла треугольника положителен: $\sin\angle AKB=\sqrt{1-0{,}352^2}=\sqrt{1-0{,}123904}=\sqrt{0{,}876096}=0{,}936$.

Площадь: $S=250\cdot0{,}936=234$.

Проверю другим способом. Из треугольников $BKC$ и $AKD$ (угол при $K$ смежный, его косинус $+0{,}352$) нахожу оставшиеся стороны: $BC^2=\dfrac{175^2+280^2-2\cdot175\cdot280\cdot0{,}352}{39^2}=\dfrac{74529}{1521}=49$, $BC=7$, и $AD^2=\dfrac{500^2+800^2-2\cdot500\cdot800\cdot0{,}352}{39^2}=\dfrac{608400}{1521}=400$, $AD=20$. Теорема Птолемея сходится: $AC\cdot BD=500=15\cdot24+7\cdot20=360+140$. Кроме того, $15^2+20^2=25^2$ и $7^2+24^2=25^2$, то есть $BD$ — диаметр, а углы $A$ и $C$ прямые. Тогда $S=\dfrac12\cdot15\cdot20+\dfrac12\cdot7\cdot24=150+84=234$ — совпадает.