Задание 1 ЕГЭ по математике №00042453

Обозначу радиусы: $R_1=6$ для треугольника $ABC$, $R_2=4$ для $BCD$, $R_3=3$ для $ACD$, а искомый — $R_4$ для $ABD$.

Теорема синусов: в любом треугольнике сторона равна $2R$, умноженному на синус противолежащего угла. Запишу её для боковых сторон трапеции $AB$ и $CD$ в каждом из четырёх треугольников:

$$AB=2R_1\sin\angle ACB,\qquad AB=2R_4\sin\angle ADB,$$

$$CD=2R_2\sin\angle CBD,\qquad CD=2R_3\sin\angle CAD.$$

Основания $AD$ и $BC$ параллельны, поэтому накрест лежащие углы при диагоналях равны: $\angle ACB=\angle CAD$ (секущая $AC$) и $\angle CBD=\angle ADB$ (секущая $BD$). Обозначу $\angle ACB=\angle CAD=\alpha$ и $\angle CBD=\angle ADB=\beta$.

Приравниваю выражения для одной и той же стороны:

$$R_1\sin\alpha=R_4\sin\beta,\qquad R_2\sin\beta=R_3\sin\alpha.$$

Перемножаю эти равенства и сокращаю на $\sin\alpha\cdot\sin\beta\ne0$:

$$R_1R_2\sin\alpha\sin\beta=R_3R_4\sin\alpha\sin\beta\ \Rightarrow\ R_4=\dfrac{R_1R_2}{R_3}=\dfrac{6\cdot4}{3}=8.$$

Проверю другим путём — через отношения. Из первой пары равенств с общим $\sin\alpha$: $\dfrac{R_1}{R_3}=\dfrac{AB}{CD}$. Из второй пары с общим $\sin\beta$: $\dfrac{R_4}{R_2}=\dfrac{AB}{CD}$. Значит, $\dfrac{R_4}{R_2}=\dfrac{R_1}{R_3}=\dfrac63=2$, и $R_4=2\cdot4=8$ — совпало.

И частный случай для контроля формулы: у прямоугольника все четыре треугольника вписаны в одну окружность, $R_1=R_2=R_3=R_4$, и равенство $R_1R_2=R_3R_4$ выполняется.