Задание 1 ЕГЭ по математике №00042467

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

$$S=\dfrac12\cdot d_1\cdot d_2\cdot\sin\varphi.$$

Каждая диагональ — хорда окружности, а самая длинная хорда — диаметр, поэтому $d_1\le6$ и $d_2\le6$. Синус не больше единицы. Значит,

$$S\le\dfrac12\cdot6\cdot6\cdot1=18.$$

Равенство достигается, когда обе диагонали — диаметры и они перпендикулярны. Четырёхугольник с равными, перпендикулярными и делящимися пополам диагоналями — квадрат. Его площадь $\dfrac12\cdot6\cdot6=18$, то есть оценка достигается.

Проверю другим способом. Соединю центр окружности с вершинами вписанного четырёхугольника, содержащего центр. Получатся четыре треугольника с боковыми сторонами $3$ и углами при центре $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$, дающими в сумме $360^\circ$. Площадь $S=\dfrac12\cdot9\cdot\left(\sin\alpha_1+\sin\alpha_2+\sin\alpha_3+\sin\alpha_4\right)\le\dfrac92\cdot4=18$, и равенство — когда все углы по $90^\circ$, то есть снова у квадрата.