Задание 1 ЕГЭ по математике №00042439

Пусть $R$ — радиус окружности. Сделаю дополнительное построение: проведу диаметр $AA'$.

Угол $ACA'$ вписанный и опирается на диаметр, поэтому он прямой: $A'C\perp AC$.

Диагональ $BD$ по условию тоже перпендикулярна $AC$. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны: $A'C\parallel BD$.

Параллельные хорды $BD$ и $A'C$ высекают на окружности равные дуги между собой, а равные дуги стягиваются равными хордами. Поэтому $A'B=CD=2$.

Угол $ABA'$ тоже опирается на диаметр $AA'$, значит, треугольник $ABA'$ прямоугольный с гипотенузой $AA'=2R$. По теореме Пифагора:

$$AB^2+A'B^2=(2R)^2,\qquad 16+4=4R^2,\qquad R^2=5.$$

Проверю другим способом. Пусть $F$ — точка пересечения диагоналей. Вписанные углы $CAB$ и $CDB$ опираются на одну дугу $BC$, поэтому прямоугольные треугольники $AFB$ и $DFC$ подобны с коэффициентом $\dfrac{AB}{CD}=2$. Если $FC=x$, то $BF=2x$.

В прямоугольном треугольнике $BFC$: $\operatorname{tg}\angle FCB=\dfrac{BF}{FC}=2$, откуда $\sin\angle FCB=\dfrac{2}{\sqrt{1+4}}=\dfrac{2}{\sqrt5}$.

По теореме синусов в треугольнике $ABC$ (вписан в ту же окружность): $AB=2R\sin\angle ACB$, то есть $4=2R\cdot\dfrac{2}{\sqrt5}$, $R=\sqrt5$, $R^2=5$ — совпадает.