Задание 1 ЕГЭ по математике №00042448

Точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности, а отрезки $AD$ и $BC$ — её хорды, пересекающиеся в точке $M$.

Сначала найду $AM$. По свойству пересекающихся хорд произведения их отрезков равны:

$$AM\cdot MD=BM\cdot MC\ \Rightarrow\ AM\cdot2=2\cdot3\ \Rightarrow\ AM=3.$$

Значит, вся хорда $AD=AM+MD=3+2=5$.

Теперь углы. $AD$ — биссектриса, поэтому $\angle BAD=\angle CAD$. Вписанные углы $CAD$ и $CBD$ опираются на одну дугу $CD$, значит, $\angle CBD=\angle CAD=\angle BAD$.

Треугольники $DBM$ и $DAB$ подобны по двум углам: угол $D$ у них общий, а $\angle DBM=\angle DAB$ (только что показали). Из подобия получаю пропорцию сторон:

$$\dfrac{DB}{DA}=\dfrac{DM}{DB}\ \Rightarrow\ DB^2=DM\cdot DA=2\cdot5=10.$$

Осталось связать $DB$ с $AB$. Треугольник $BMD$ равнобедренный ($BM=MD=2$), поэтому углы при основании равны: $\angle MBD=\angle MDB$, то есть $\angle CBD=\angle ADB$.

Но $\angle CBD=\angle BAD$, значит, $\angle ADB=\angle BAD$. Треугольник $ABD$ равнобедренный с равными углами при $A$ и $D$, и противолежащие им стороны равны: $AB=BD$.

Итак, $AB^2=BD^2=10$.

Проверю независимо — через свойство биссектрисы. Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон: $AB:AC=BM:MC=2:3$. Пусть $AB=2k$, $AC=3k$. Квадрат биссектрисы равен произведению прилежащих сторон минус произведение отрезков, на которые она делит третью сторону:

$$AM^2=AB\cdot AC-BM\cdot MC\ \Rightarrow\ 9=6k^2-6\ \Rightarrow\ k^2=\dfrac52.$$

Тогда $AB^2=4k^2=4\cdot\dfrac52=10$ — совпало.