Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00043246

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Разберёмся, почему, и это даст всё решение.

Обозначим кусочки, на которые биссектриса делит противоположную сторону: от вершины острого угла — $3k$, дальше — $4k$. Вся эта сторона равна $3k+4k=7k$.

Почему отсечённый треугольник равнобедренный: биссектриса образует равные углы с двумя сторонами тупого угла. А верхняя и нижняя стороны параллельны, поэтому угол между биссектрисой и нижней стороной равен углу между биссектрисой и верхней стороной (накрест лежащие углы). Получается, что в маленьком треугольнике два угла равны.

Значит, боковая сторона параллелограмма равна прилежащему к острому углу кусочку: она равна $3k$.

Периметр — это удвоенная сумма двух соседних сторон:

$$2\cdot(3k+7k)=42\quad\Rightarrow\quad 20k=42\quad\Rightarrow\quad k=2{,}1.$$

Большая сторона равна $7k=7\cdot 2{,}1=14{,}7$.

Проверим: меньшая сторона $3\cdot 2{,}1=6{,}3$, и $2\cdot(6{,}3+14{,}7)=2\cdot 21=42$ — периметр сходится.