Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042455

Опущу из точки $P$ перпендикуляры на все четыре стороны. Они разобьют прямоугольник на четыре маленьких прямоугольника, а отрезки $PA$, $PB$, $PC$, $PD$ станут их диагоналями.

Обозначу расстояния от $P$ до сторон: $x_1$ — до $AD$, $x_2$ — до $BC$, $y_1$ — до $AB$, $y_2$ — до $CD$. По теореме Пифагора в каждом маленьком прямоугольнике:

$$PA^2=x_1^2+y_1^2,\quad PB^2=x_2^2+y_1^2,\quad PC^2=x_2^2+y_2^2,\quad PD^2=x_1^2+y_2^2.$$

Сложу квадраты расстояний до противоположных вершин:

$$PA^2+PC^2=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2=PB^2+PD^2.$$

Значит,

$$PD^2=PA^2+PC^2-PB^2=49+36-81=4\ \Rightarrow\ PD=2.$$

Проверю, что такая точка существует, — подберу конкретные числа. Пусть $x_1=1$. Тогда $y_1^2=PA^2-x_1^2=49-1=48$, $x_2^2=PB^2-y_1^2=81-48=33$, $y_2^2=PC^2-x_2^2=36-33=3$. Все квадраты положительны, точка внутри прямоугольника со сторонами $1+\sqrt{33}$ и $\sqrt{48}+\sqrt3$.

И напрямую: $PD^2=x_1^2+y_2^2=1+3=4$, $PD=2$ — совпало.