Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042661

Угол $ABD$ — это угол при вершине $B$ между стороной $BA$ и диагональю $BD$. Точка $O$ лежит на диагонали $BD$, поэтому $\angle ABD=\angle ABO$ — угол треугольника $ABO$. Его и будем искать.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO=\dfrac{BD}{2}$. По условию $BD=2AB$, значит,

$$BO=\dfrac{2AB}{2}=AB.$$

Получается, треугольник $ABO$ равнобедренный: боковые стороны $BA$ и $BO$ сходятся в вершине $B$, а основание — $AO$. Углы при основании равны: $\angle BAO=\angle BOA$.

Угол $BOA$ найду из условия. Точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой — диагонали $AC$, поэтому углы $BOA$ и $COB$ смежные и в сумме дают $180^\circ$:

$$\angle BOA=180^\circ-126^\circ=54^\circ.$$

Значит, и $\angle BAO=54^\circ$. Сумма углов треугольника $ABO$ равна $180^\circ$, поэтому

$$\angle ABO=180^\circ-54^\circ-54^\circ=72^\circ.$$

Итак, $\angle ABD=72^\circ$.

Проверю другим путём. Угол $COB$ — внешний угол треугольника $ABO$ при вершине $O$, а внешний угол равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: $\angle COB=\angle BAO+\angle ABO$. Отсюда $\angle ABO=126^\circ-54^\circ=72^\circ$ — совпало.