Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042454

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: $BO=OD=3$, $AO=OC$.

В треугольнике $ABO$ угол при $B$ равен $45^\circ$ (это угол $DBA$), угол при $O$ равен $45^\circ$. Третий угол $BAO=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ$. Значит, треугольник $ABO$ прямоугольный и равнобедренный с гипотенузой $BO=3$:

$$AB=AO=\dfrac{BO}{\sqrt2}=\dfrac{3}{\sqrt2}.$$

Вторая диагональ $AC=2AO=3\sqrt2$. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

$$S=\dfrac12\cdot AC\cdot BD\cdot\sin45^\circ=\dfrac12\cdot3\sqrt2\cdot6\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=9.$$

Проверю другим способом. Угол $BAC$ прямой, поэтому диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $AB$ и служит высотой параллелограмма, опущенной на прямую $CD\parallel AB$. Площадь равна стороне на высоту: $S=AB\cdot AC=\dfrac{3}{\sqrt2}\cdot3\sqrt2=9$ — совпадает.