Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042456

Отношение косинусов не зависит от размера ромба, поэтому выберу удобную сторону: пусть сторона ромба равна $3$. Тогда $CN=2$, $CM=1$ (по условию $CN=2CM$ и $CN+CM=3$).

Косинус угла $CKN$. В треугольнике $CKN$ известны $KN=3$, $CN=2$ и угол между ними $\angle KNC=\angle KNM=120^\circ$. По теореме косинусов найду $KC$:

$$KC^2=KN^2+CN^2-2\cdot KN\cdot CN\cdot\cos120^\circ=9+4-2\cdot3\cdot2\cdot\left(-\dfrac12\right)=19.$$

Теперь теорема косинусов для стороны $CN$, лежащей против угла $CKN$:

$$\cos\angle CKN=\dfrac{KN^2+KC^2-CN^2}{2\cdot KN\cdot KC}=\dfrac{9+19-4}{2\cdot3\cdot\sqrt{19}}=\dfrac{24}{6\sqrt{19}}=\dfrac{4}{\sqrt{19}}.$$

Косинус угла $CLN$. Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому $\angle LMN=60^\circ$. Треугольник $LMN$ равнобедренный ($LM=MN=3$) с углом $60^\circ$ при вершине, значит, равносторонний: $LN=3$ и $\angle LNM=60^\circ$.

В треугольнике $CLN$: $LN=3$, $CN=2$, угол между ними $60^\circ$:

$$LC^2=9+4-2\cdot3\cdot2\cdot\dfrac12=7,\qquad \cos\angle CLN=\dfrac{LN^2+LC^2-CN^2}{2\cdot LN\cdot LC}=\dfrac{9+7-4}{2\cdot3\cdot\sqrt7}=\dfrac{2}{\sqrt7}.$$

Отношение:

$$\dfrac{\cos\angle CKN}{\cos\angle CLN}=\dfrac{4}{\sqrt{19}}\cdot\dfrac{\sqrt7}{2}=\dfrac{2\sqrt7}{\sqrt{19}}.$$

В ответ идёт $19\cdot\left(\dfrac{2\sqrt7}{\sqrt{19}}\right)^2=19\cdot\dfrac{28}{19}=28$.

Проверю координатами. $N=(0;0)$, $K=(3;0)$, $M=(3\cos120^\circ;\,3\sin120^\circ)=\left(-\dfrac32;\,\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)$, $L=K+M-N=\left(\dfrac32;\,\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)$, $C=\dfrac23M=(-1;\sqrt3)$.

Векторы $\overrightarrow{KC}=(-4;\sqrt3)$ и $\overrightarrow{KN}=(-3;0)$: $\cos\angle CKN=\dfrac{12}{\sqrt{19}\cdot3}=\dfrac{4}{\sqrt{19}}$. Векторы $\overrightarrow{LC}=\left(-\dfrac52;-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ и $\overrightarrow{LN}=\left(-\dfrac32;-\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)$: скалярное произведение $\dfrac{15}{4}+\dfrac94=6$, длины $\sqrt7$ и $3$, $\cos\angle CLN=\dfrac{6}{3\sqrt7}=\dfrac{2}{\sqrt7}$ — совпало.