Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043243

Ищем точку максимума — место, где рост функции сменяется убыванием.

Производная почленно: $\left(x^{3}\right)'=3x^{2}$, $\left(5{,}5x^{2}\right)'=2\cdot 5{,}5x=11x$, $(-42x)'=-42$, число $18$ даёт ноль:

$$y'=3x^{2}+11x-42.$$

Найдём корни через дискриминант:

$$D=11^{2}-4\cdot 3\cdot(-42)=121+504=625=25^{2},$$

$$x=\dfrac{-11\pm 25}{2\cdot 3}:\quad x_1=\dfrac{-36}{6}=-6,\quad x_2=\dfrac{14}{6}=\dfrac73.$$

Производная — квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом, его график — парабола ветвями вверх. Она положительна левее $-6$, отрицательна между $-6$ и $\dfrac73$ и вновь положительна правее $\dfrac73$.

Проверим одной точкой: $y'(0)=-42\lt 0$ — ноль лежит между корнями, функция там убывает. Всё сходится.

Рост сменяется убыванием в точке $x=-6$ — это точка максимума.

Проверим себя: $y'(-6)=3\cdot 36+11\cdot(-6)-42=108-66-42=0$.