Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043232

Ищем наименьшее значение на отрезке $[1;36]$. Узнаем по производной, как ведёт себя функция на этом отрезке.

Так как $x\sqrt{x}=x^{\frac32}$, его производная $\dfrac32\sqrt{x}$. Производная $-9x$ равна $-9$, число $23$ даёт ноль:

$$y'=\dfrac32\sqrt{x}-9.$$

Нуль производной: $\dfrac32\sqrt{x}=9$, откуда $\sqrt{x}=9\cdot\dfrac23=6$ и $x=36$. Это правый конец отрезка, внутри отрезка нулей нет.

Знак внутри отрезка: при $x=4$ получаем $\dfrac32\cdot 2-9=3-9=-6\lt 0$. Производная отрицательна на всём отрезке (кроме самого правого конца) — функция убывает.

Можно посмотреть и по-другому. Обозначим $t=\sqrt{x}$, где $t$ от $1$ до $6$. Тогда $y=t^{3}-9t^{2}+23$, и $y'_t=3t^{2}-18t=3t(t-6)$. При $1\leqslant t\lt 6$ это произведение отрицательно — функция убывает, тот же вывод.

Если функция всё время убывает, самое маленькое значение — на правом конце, при $x=36$:

$$y(36)=36\cdot 6-9\cdot 36+23=216-324+23=-85.$$

Проверим себя: на левом конце $y(1)=1-9+23=15$ — это больше, функция действительно спускается вниз.