Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043222

Нам нужна точка минимума — место, где функция перестаёт убывать и начинает расти. Найдём производную.

Производная степени: показатель спускается вниз множителем и уменьшается на единицу. Для $x^{\frac32}$ получаем $\dfrac32x^{\frac12}=\dfrac32\sqrt{x}$. С коэффициентом $4$: $4\cdot\dfrac32\sqrt{x}=6\sqrt{x}$. Производная $-15x$ равна $-15$, число $3$ даёт ноль:

$$y'=6\sqrt{x}-15.$$

Функция определена при $x\geqslant 0$. Приравняем производную к нулю:

$$6\sqrt{x}=15\quad\Rightarrow\quad\sqrt{x}=\dfrac{15}{6}=2{,}5\quad\Rightarrow\quad x=2{,}5^{2}=6{,}25.$$

Проверим знаки. При $x=4$: $6\cdot 2-15=-3\lt 0$ — функция убывает. При $x=9$: $6\cdot 3-15=3\gt 0$ — растёт.

В точке $x=6{,}25$ убывание сменяется ростом — это точка минимума.