Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043233

Ищем точку максимума — место, где функция перестаёт расти и начинает убывать. Найдём производную и её знаки.

Запишем $x\sqrt{x}=x^{\frac32}$, производная $\dfrac32\sqrt{x}$. С коэффициентом: $-\dfrac43\cdot\dfrac32=-2$, то есть от первого слагаемого остаётся $-2\sqrt{x}$. Производная $7x$ равна $7$, число $15$ даёт ноль:

$$y'=7-2\sqrt{x}.$$

Нуль: $2\sqrt{x}=7$, $\sqrt{x}=3{,}5$, и $x=3{,}5^{2}=12{,}25$.

Знак. Корень $\sqrt{x}$ растёт вместе с $x$, поэтому $7-2\sqrt{x}$ при маленьких $x$ положительно, а при больших — отрицательно. Например, при $x=9$: $7-6=1\gt 0$, при $x=16$: $7-8=-1\lt 0$.

Рост сменяется убыванием в точке $x=12{,}25$ — это точка максимума.