Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043239

Нужна точка максимума: функция в ней перестаёт расти и начинает убывать. Найдём производную.

Слагаемые: у $15$ производная ноль, у $21x$ — это $21$. Слагаемое $4x\sqrt{x}=4x^{\frac32}$ даёт $4\cdot\dfrac32\sqrt{x}=6\sqrt{x}$, и с минусом:

$$y'=21-6\sqrt{x}.$$

Нуль: $6\sqrt{x}=21$, $\sqrt{x}=\dfrac{21}{6}=3{,}5$, и $x=3{,}5^{2}=12{,}25$.

Знаки. При $x=9$: $21-18=3\gt 0$ — функция растёт. При $x=16$: $21-24=-3\lt 0$ — убывает.

Почему так: при больших $x$ слагаемое $-4x\sqrt{x}$ растёт по модулю быстрее, чем $21x$, и тянет функцию вниз.

Рост сменился убыванием в точке $x=12{,}25$ — это точка максимума.