Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043223

Ищем наибольшее значение на отрезке $[0;8{,}25]$. Разберёмся с помощью производной, где функция растёт, а где убывает.

Запишем $x\sqrt{x}=x^{\frac32}$, её производная $\dfrac32\sqrt{x}$. Тогда у слагаемого $-4x\sqrt{x}$ производная $-4\cdot\dfrac32\sqrt{x}=-6\sqrt{x}$. У $3x$ производная $3$, число $-1$ даёт ноль:

$$y'=3-6\sqrt{x}.$$

Нуль: $6\sqrt{x}=3$, то есть $\sqrt{x}=\dfrac12$. Чтобы найти $x$, возведём в квадрат: $x=\left(\dfrac12\right)^{2}=\dfrac14=0{,}25$. Точка внутри отрезка.

Знаки. При $x=0{,}01$: $\sqrt{x}=0{,}1$, $y'=3-0{,}6\gt 0$ — функция растёт. При $x=1$: $y'=3-6=-3\lt 0$ — убывает.

Функция растёт до $x=0{,}25$, а потом убывает до конца отрезка. Значит, наибольшее значение — в точке $x=0{,}25$.

Посчитаем: $\sqrt{0{,}25}=0{,}5$, поэтому $x\sqrt{x}=0{,}25\cdot 0{,}5=0{,}125$, и

$$y(0{,}25)=3\cdot 0{,}25-1-4\cdot 0{,}125=0{,}75-1-0{,}5=-0{,}75.$$

Проверим себя: на левом конце $y(0)=-1$, и это действительно меньше, чем $-0{,}75$.