Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043238

Ищем наименьшее значение на отрезке $[1;422]$. Посмотрим с помощью производной, где функция убывает, а где растёт.

Запишем $x\sqrt{x}=x^{\frac32}$, его производная $\dfrac32\sqrt{x}$. Производная $-27x$ равна $-27$, число $6$ даёт ноль:

$$y'=\dfrac32\sqrt{x}-27.$$

Нуль: $\dfrac32\sqrt{x}=27$, откуда $\sqrt{x}=27\cdot\dfrac23=18$, и $x=18^{2}=324$. Число $324$ лежит внутри отрезка, ведь $324\lt 422$.

Знаки. При $x=1$: $\dfrac32-27\lt 0$ — функция убывает. При $x=400$: $\sqrt{400}=20$, $\dfrac32\cdot 20-27=30-27=3\gt 0$ — растёт.

Значит, в точке $x=324$ убывание сменяется ростом — это точка минимума и самое низкое место на отрезке.

Посчитаем значение. Удобно вынести $x$ за скобку: $x\sqrt{x}-27x=x\left(\sqrt{x}-27\right)$. При $x=324$:

$$y(324)=324\cdot(18-27)+6=324\cdot(-9)+6=-2916+6=-2910.$$

Проверим себя: на левом конце $y(1)=1-27+6=-20$, а на правом $\sqrt{422}\approx 20{,}54$, и $y(422)\approx 422\cdot(20{,}54-27)+6\approx-2720$. Оба значения больше, чем $-2910$.