Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043242

Ищем наименьшее значение на отрезке $[-7;0]$. Найдём производную и посмотрим, где функция убывает и где растёт.

Производная почленно: $3x^{2}+36x+81$. Вынесем $3$:

$$y'=3\left(x^{2}+12x+27\right)=3(x+3)(x+9).$$

Проверка разложения: $3+9=12$ и $3\cdot 9=27$. Нули: $x=-9$ и $x=-3$. Число $-9$ не входит в отрезок $[-7;0]$, остаётся $x=-3$.

Знаки на отрезке. При $x=-5$: $3\cdot(-2)\cdot 4=-24\lt 0$ — функция убывает. При $x=-1$: $3\cdot 2\cdot 8=48\gt 0$ — растёт.

Убывание сменяется ростом в точке $x=-3$ — это минимум и самое низкое место на отрезке.

Считать значение удобно, если заметить, что $x^{3}+18x^{2}+81x=x\left(x^{2}+18x+81\right)=x(x+9)^{2}$. Значит, $y=x(x+9)^{2}+56$, и

$$y(-3)=-3\cdot 6^{2}+56=-3\cdot 36+56=-108+56=-52.$$

Проверим себя концами: $y(-7)=-7\cdot 2^{2}+56=-28+56=28$ и $y(0)=56$ — оба больше, чем $-52$.