Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043214

Ищем наименьшее значение на отрезке $[-3;4]$. Кандидаты — точки минимума внутри отрезка и концы.

Производная почленно: $\left(2x^{3}\right)'=6x^{2}$, $\left(9x^{2}\right)'=18x$, $(12x)'=12$, число $-5$ даёт ноль:

$$y'=6x^{2}+18x+12=6\left(x^{2}+3x+2\right)=6(x+1)(x+2).$$

Нули: $x=-2$ и $x=-1$, оба внутри отрезка.

Знаки. При $x=-3$: $6\cdot(-2)\cdot(-1)=12\gt 0$ — функция растёт. При $x=-1{,}5$: $6\cdot(-0{,}5)\cdot 0{,}5\lt 0$ — убывает. При $x=0$: $6\cdot 1\cdot 2\gt 0$ — растёт.

Значит, $x=-2$ — максимум, $x=-1$ — минимум. Но от левого конца $x=-3$ функция идёт вверх, поэтому сам левый конец — тоже низкое место. Сравним.

В точке минимума:

$$y(-1)=2\cdot(-1)+9\cdot 1+12\cdot(-1)-5=-2+9-12-5=-10.$$

На левом конце:

$$y(-3)=2\cdot(-27)+9\cdot 9+12\cdot(-3)-5=-54+81-36-5=-14.$$

Правый конец даёт большое положительное число: $y(4)=128+144+48-5=315$.

Самое маленькое из чисел $-10$, $-14$ и $315$ — это $-14$.