Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043241

Нам нужна точка минимума — место, где функция перестаёт убывать и начинает расти. Найдём производную и изучим её знак.

Область определения: логарифм существует при $x+11\gt 0$, то есть при $x\gt -11$.

Производная: у $10x$ она равна $10$, у $\ln(x+11)$ — это $\dfrac{1}{x+11}$, а число $3$ даёт ноль. С учётом минуса перед логарифмом:

$$y'=10-\dfrac{1}{x+11}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$10-\dfrac{1}{x+11}=0\quad\Rightarrow\quad\dfrac{1}{x+11}=10.$$

Дробь с единицей в числителе равна $10$, когда её знаменатель равен $\dfrac{1}{10}=0{,}1$. Значит,

$$x+11=0{,}1\quad\Rightarrow\quad x=0{,}1-11=-10{,}9.$$

Эта точка лежит правее $-11$, то есть в области определения.

Проверим знаки. Возьмём $x=-10{,}95$, левее найденной точки: $x+11=0{,}05$, дробь $\dfrac{1}{0{,}05}=20$, и $y'=10-20=-10\lt 0$ — функция убывает. Возьмём $x=0$: $y'=10-\dfrac{1}{11}\gt 0$ — функция растёт.

Убывание сменяется ростом в точке $x=-10{,}9$ — это точка минимума.