Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043210

Ищем точку минимума — место, где функция перестаёт убывать и начинает расти. Поведение функции подскажет знак производной.

Область определения: под логарифмом должно стоять положительное число, $x+8\gt 0$, то есть $x\gt -8$.

Производная по слагаемым: от $x^{2}$ получаем $2x$, от $14\ln(x+8)$ получаем $\dfrac{14}{x+8}$, а число $6$ даёт ноль:

$$y'=2x+\dfrac{14}{x+8}.$$

Приведём к общему знаменателю $x+8$:

$$y'=\dfrac{2x(x+8)+14}{x+8}=\dfrac{2x^{2}+16x+14}{x+8}=\dfrac{2\left(x^{2}+8x+7\right)}{x+8}.$$

Трёхчлен $x^{2}+8x+7$ раскладывается на $(x+1)(x+7)$: числа $-1$ и $-7$ в сумме дают $-8$, а в произведении $7$. Получаем

$$y'=\dfrac{2(x+1)(x+7)}{x+8}.$$

При $x\gt -8$ знаменатель положителен, так что знак производной — это знак произведения $(x+1)(x+7)$. Нули: $x=-7$ и $x=-1$, оба правее $-8$.

Проверим знаки по промежуткам. При $x=-7{,}5$: $(-6{,}5)\cdot(-0{,}5)\gt 0$ — функция растёт. При $x=-4$: $(-3)\cdot 3=-9\lt 0$ — функция убывает. При $x=0$: $1\cdot 7=7\gt 0$ — вновь растёт.

Убывание сменяется ростом в точке $x=-1$ — это точка минимума. В точке $x=-7$ происходит обратное, там максимум.

Проверим себя: $y'(-1)=2\cdot(-1)+\dfrac{14}{-1+8}=-2+2=0$ — всё сходится.