Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043240

Ищем наибольшее значение на отрезке. Сначала упростим логарифм, потом по производной поймём, где функция растёт, а где убывает.

Запись $\ln(x+18)^{12}$ — это логарифм двенадцатой степени. На нашем отрезке $[-17{,}5;0]$ число $x+18$ положительно (оно от $0{,}5$ до $18$), поэтому показатель выносится вперёд множителем:

$$y=12\ln(x+18)-12x.$$

Производная: от $12\ln(x+18)$ получаем $\dfrac{12}{x+18}$, от $-12x$ — число $-12$:

$$y'=\dfrac{12}{x+18}-12=\dfrac{12-12(x+18)}{x+18}=\dfrac{-12x-204}{x+18}=\dfrac{-12(x+17)}{x+18}.$$

Знаменатель на отрезке положителен. Числитель обращается в нуль при $x=-17$ — эта точка внутри отрезка.

Знаки. При $x=-17{,}5$: $x+17=-0{,}5$, и $-12\cdot(-0{,}5)=6\gt 0$ — функция растёт. При $x=0$: $-12\cdot 17\lt 0$ — функция убывает.

Итак, функция растёт до $x=-17$, а потом убывает, значит, наибольшее значение — в точке $x=-17$. Там $x+18=1$ и $\ln 1=0$:

$$y(-17)=12\ln 1-12\cdot(-17)=0+204=204.$$

Проверим себя на левом конце: $y(-17{,}5)=12\ln 0{,}5+210\approx 12\cdot(-0{,}69)+210\approx 201{,}7$ — меньше $204$, как и должно быть.