Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043220

Наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке, где рост сменяется убыванием, либо на конце отрезка. Найдём, как ведёт себя функция, с помощью производной.

Производная $\ln(5x)$ по правилу сложной функции: $\dfrac{1}{5x}\cdot 5=\dfrac{1}{x}$. Производная $-5x$ равна $-5$, число $-5$ даёт ноль:

$$y'=\dfrac{1}{x}-5.$$

Приравняем к нулю: $\dfrac{1}{x}=5$, откуда $x=\dfrac15=0{,}2$. Эта точка лежит внутри отрезка $[0{,}1;0{,}5]$.

Знаки. При $x=0{,}1$: $y'=10-5=5\gt 0$ — функция растёт. При $x=0{,}5$: $y'=2-5=-3\lt 0$ — функция убывает.

Значит, на отрезке функция сначала растёт до точки $x=0{,}2$, а потом убывает. Самая высокая точка — $x=0{,}2$, концы ниже неё.

Вычислим значение. При $x=0{,}2$ имеем $5x=1$, а $\ln 1=0$:

$$y(0{,}2)=\ln 1-5\cdot 0{,}2-5=0-1-5=-6.$$

Проверим себя на левом конце: $y(0{,}1)=\ln 0{,}5-0{,}5-5$. Логарифм числа меньше единицы отрицателен, $\ln 0{,}5\approx-0{,}69$, поэтому $y(0{,}1)\approx-6{,}19$ — это меньше, чем в найденной точке, как и должно быть.