Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043236

Ищем наименьшее значение на отрезке $\left[\dfrac16;\dfrac76\right]$. Кандидаты — точки, где убывание сменяется ростом, и концы отрезка. Найдём их с помощью производной.

На отрезке $x\gt 0$, так что $\ln x$ определён. Производная по слагаемым: от $2x^{2}$ получаем $4x$, от $-5x$ — число $-5$, от $\ln x$ — дробь $\dfrac1x$, число $-3$ даёт ноль:

$$y'=4x-5+\dfrac{1}{x}=\dfrac{4x^{2}-5x+1}{x}.$$

Корни трёхчлена $4x^{2}-5x+1$: дискриминант $D=25-4\cdot 4\cdot 1=9$, корни $x=\dfrac{5\pm 3}{8}$, то есть $x=1$ и $x=\dfrac14$. Поэтому

$$y'=\dfrac{(4x-1)(x-1)}{x}.$$

Оба нуля лежат внутри отрезка: $\dfrac16\lt\dfrac14$ и $1\lt\dfrac76$. Знаменатель $x$ положителен. Расставим знаки:

при $x=0{,}2$ (между $\dfrac16$ и $\dfrac14$): $(0{,}8-1)(0{,}2-1)=(-0{,}2)\cdot(-0{,}8)\gt 0$ — функция растёт;

при $x=0{,}5$: $(2-1)(0{,}5-1)=1\cdot(-0{,}5)\lt 0$ — убывает;

при $x=\dfrac{7}{6}$: оба множителя положительны — растёт.

Получается, что функция растёт от левого конца до $\dfrac14$, убывает до $1$ и вновь растёт до правого конца. Низких мест два: точка $x=1$ и левый конец $x=\dfrac16$ (от него функция идёт вверх). Сравним их.

В точке $x=1$: $\ln 1=0$, и

$$y(1)=2\cdot 1-5\cdot 1+0-3=-6.$$

На левом конце: $y\left(\dfrac16\right)=2\cdot\dfrac{1}{36}-\dfrac56+\ln\dfrac16-3=\dfrac{1}{18}-\dfrac{15}{18}-3-\ln 6=-\dfrac79-3-\ln 6$.

Оценим $\ln 6$: так как $e^{2}\approx 7{,}4\gt 6$, то $\ln 6\lt 2$. Значит, $y\left(\dfrac16\right)\gt -\dfrac79-3-2\approx-5{,}78$, а это больше, чем $-6$.

Итак, наименьшее значение достигается в точке $x=1$ и равно $-6$.