Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043237

Нужна точка максимума: место, где функция перестаёт расти и начинает убывать. Найдём производную и посмотрим на её знаки.

Из-за $\ln x$ работаем только при $x\gt 0$.

Производная по слагаемым. У $1{,}5x^{2}$ показатель $2$ спускается множителем: $2\cdot 1{,}5x=3x$. У $-27x$ производная $-27$. У $54\ln x$ производная $\dfrac{54}{x}$. Число $-7$ даёт ноль:

$$y'=3x-27+\dfrac{54}{x}.$$

Приведём к общему знаменателю $x$:

$$y'=\dfrac{3x^{2}-27x+54}{x}=\dfrac{3\left(x^{2}-9x+18\right)}{x}.$$

Трёхчлен $x^{2}-9x+18$ раскладывается на $(x-3)(x-6)$: $3+6=9$ и $3\cdot 6=18$. Значит,

$$y'=\dfrac{3(x-3)(x-6)}{x}.$$

Так как $x\gt 0$, знаменатель положителен, и знак производной зависит только от $(x-3)(x-6)$.

При $x=1$: $(-2)\cdot(-5)=10\gt 0$ — функция растёт. При $x=4$: $1\cdot(-2)=-2\lt 0$ — убывает. При $x=10$: $7\cdot 4=28\gt 0$ — вновь растёт.

Рост сменяется убыванием в точке $x=3$ — это точка максимума. Точка $x=6$ — минимум, она не подходит.

Проверим себя: $y'(3)=3\cdot 3-27+\dfrac{54}{3}=9-27+18=0$.