Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043209

Нам нужна точка максимума — место, где функция перестаёт расти и начинает убывать. Такие места ищут с помощью производной: где производная положительна, функция растёт, где отрицательна — убывает.

Сначала область определения. Логарифм существует только от положительного числа, поэтому $x+5\gt 0$, то есть $x\gt -5$.

Найдём производную по слагаемым. Производная $x^{2}$ равна $2x$. Производная $\ln(x+5)$ равна $\dfrac{1}{x+5}$, поэтому у $12\ln(x+5)$ производная $\dfrac{12}{x+5}$. Число $-7$ при дифференцировании пропадает — производная числа равна нулю:

$$y'=2x+\dfrac{12}{x+5}.$$

Сложим это в одну дробь: домножим $2x$ на $x+5$ и запишем над общим знаменателем:

$$y'=\dfrac{2x(x+5)+12}{x+5}=\dfrac{2x^{2}+10x+12}{x+5}=\dfrac{2\left(x^{2}+5x+6\right)}{x+5}.$$

Разложим трёхчлен $x^{2}+5x+6$. Нужны два числа, которые в сумме дают $-5$, а в произведении $6$: это $-2$ и $-3$. Значит, $x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)$, и

$$y'=\dfrac{2(x+2)(x+3)}{x+5}.$$

Знаменатель $x+5$ на области определения положителен, поэтому знак производной задаёт числитель. Он обращается в нуль при $x=-3$ и $x=-2$. Расставим знаки, подставляя по одному числу из каждого промежутка:

на $(-5;-3)$ возьмём $x=-4$: $(-4+2)(-4+3)=(-2)\cdot(-1)=2\gt 0$ — функция растёт;

на $(-3;-2)$ возьмём $x=-2{,}5$: $(-0{,}5)\cdot 0{,}5=-0{,}25\lt 0$ — функция убывает;

правее $-2$ возьмём $x=0$: $2\cdot 3=6\gt 0$ — функция вновь растёт.

В точке $x=-3$ рост сменяется убыванием — это точка максимума. А в точке $x=-2$ всё наоборот: там минимум, он нам не нужен.

Проверим себя: $y'(-3)=2\cdot(-3)+\dfrac{12}{-3+5}=-6+6=0$ — производная в этой точке действительно равна нулю.