Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043221

Ищем точку минимума — место, где убывание функции сменяется ростом. Сначала разберёмся с необычной записью логарифма.

Запись $\ln(x+4)^{5}$ означает логарифм от пятой степени, то есть $\ln\left((x+4)^{5}\right)$. Он существует, когда $(x+4)^{5}\gt 0$. Нечётная степень сохраняет знак числа, поэтому это то же самое, что $x+4\gt 0$, то есть $x\gt -4$.

По свойству логарифма показатель степени выносится вперёд множителем: $\ln(x+4)^{5}=5\ln(x+4)$. Функция становится такой:

$$y=5x-5\ln(x+4)+9.$$

Производная: от $5x$ остаётся $5$, от $5\ln(x+4)$ получаем $\dfrac{5}{x+4}$, число $9$ даёт ноль:

$$y'=5-\dfrac{5}{x+4}=\dfrac{5(x+4)-5}{x+4}=\dfrac{5x+15}{x+4}=\dfrac{5(x+3)}{x+4}.$$

При $x\gt -4$ знаменатель положителен, знак решает множитель $x+3$. Он равен нулю при $x=-3$.

Левее, например при $x=-3{,}5$: $x+3=-0{,}5\lt 0$, производная отрицательна — функция убывает. Правее, например при $x=0$: $x+3=3\gt 0$ — функция растёт.

Убывание сменилось ростом в точке $x=-3$ — это точка минимума.

Проверим себя: $y'(-3)=5-\dfrac{5}{-3+4}=5-5=0$.