Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043235

Ищем точку минимума на промежутке $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ — место, где убывание сменяется ростом.

Производная произведения $(1-2x)\cos x$: производная $(1-2x)$ равна $-2$, производная $\cos x$ равна $-\sin x$. По правилу $(uv)'=u'v+uv'$ получаем $-2\cos x-(1-2x)\sin x$.

Производная $2\sin x$ равна $2\cos x$, число $10$ даёт ноль. Складываем всё:

$$y'=-2\cos x-(1-2x)\sin x+2\cos x=-(1-2x)\sin x=(2x-1)\sin x.$$

На промежутке $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ синус положителен (он обращается в ноль только в точках вида $\pi n$, а их внутри нет). Значит, знак $y'$ совпадает со знаком $2x-1$.

Множитель $2x-1$ равен нулю при $x=0{,}5$ — это внутри промежутка.

При $x\lt 0{,}5$ (например, $x=0{,}25$): $0{,}5-1\lt 0$ — функция убывает. При $x\gt 0{,}5$ (например, $x=1$): $2-1\gt 0$ — растёт.

Убывание сменяется ростом в точке $x=0{,}5$ — это точка минимума.