Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043226

Ищем точку максимума на промежутке $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ — место, где рост функции сменяется убыванием. Найдём производную.

Первое слагаемое — произведение $(2x-3)\cos x$. По правилу $(uv)'=u'v+uv'$: производная $(2x-3)$ равна $2$, производная $\cos x$ равна $-\sin x$. Получаем $2\cos x-(2x-3)\sin x$.

Производная $-2\sin x$ равна $-2\cos x$, число $17$ даёт ноль. Складываем:

$$y'=2\cos x-(2x-3)\sin x-2\cos x=-(2x-3)\sin x=(3-2x)\sin x.$$

На промежутке $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ синус положителен. Значит, знак производной совпадает со знаком $3-2x$.

Множитель $3-2x$ равен нулю при $x=1{,}5$. Эта точка лежит в промежутке: $\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}57\gt 1{,}5$.

При $x\lt 1{,}5$ (например, $x=1$): $3-2=1\gt 0$ — функция растёт. При $1{,}5\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$ (например, $x=1{,}55$): $3-3{,}1=-0{,}1\lt 0$ — убывает.

Рост сменяется убыванием в точке $x=1{,}5$ — это точка максимума.