Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043234

Ищем наибольшее значение на отрезке $\left[-\dfrac{3\pi}{2};0\right]$. Посмотрим на производную.

Производная $3\cos x$ равна $-3\sin x$, у $8x$ это $8$, число $-5$ даёт ноль:

$$y'=8-3\sin x.$$

Синус всегда между $-1$ и $1$. Значит, $3\sin x$ не больше $3$, и

$$y'=8-3\sin x\geqslant 8-3=5\gt 0.$$

Производная положительна при любом $x$ — функция всё время растёт. Нулей у производной нет, искать их не нужно.

Раз функция растёт, самое большое значение — на правом конце отрезка, в точке $x=0$:

$$y(0)=3\cos 0+8\cdot 0-5=3\cdot 1+0-5=-2.$$

Проверим себя левым концом: $\cos\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)=0$, поэтому $y\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)=0-12\pi-5\approx-42{,}7$ — гораздо меньше.