Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043227

Ищем наименьшее значение на отрезке $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$. Найдём, где функция убывает и где растёт.

Производная: числа $3$ и $-3\pi$ дают ноль, у $12x$ производная $12$, у $-12\sqrt2\sin x$ — это $-12\sqrt2\cos x$:

$$y'=12-12\sqrt2\cos x=12\left(1-\sqrt2\cos x\right).$$

Нуль: $\sqrt2\cos x=1$, то есть $\cos x=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$. На отрезке $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ это $x=\dfrac{\pi}{4}$.

Знаки. На этом отрезке косинус убывает от $1$ до $0$. Левее $\dfrac{\pi}{4}$ косинус больше $\dfrac{\sqrt2}{2}$, и $1-\sqrt2\cos x\lt 0$ — функция убывает. Правее косинус меньше, и производная положительна — функция растёт.

Значит, $x=\dfrac{\pi}{4}$ — точка минимума и самое низкое место на отрезке. Подставим:

$$y\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=3-3\pi+12\cdot\dfrac{\pi}{4}-12\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=3-3\pi+3\pi-12=-9.$$

Видно, зачем в условии стоит $-3\pi$: оно взаимно уничтожается с $12\cdot\dfrac{\pi}{4}=3\pi$, и ответ получается числом.

Проверим себя концами: $y(0)=3-3\pi\approx-6{,}42$ и $y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3-3\pi+6\pi-12\sqrt2=3+3\pi-12\sqrt2\approx-4{,}55$. Оба больше, чем $-9$.