ID: 00014013
Найдите наименьшее значение функции $y = 12 \cos x + \dfrac{45x}{\pi} - 4$ на отрезке $\left[ -\dfrac{2\pi}{3}; 0 \right]$.
Источник: ФИПИ
Наибольшее или наименьшее значение на отрезке достигается либо в критической точке, либо на конце отрезка. Начнём с производной:
$$y'=-12\sin x+\dfrac{45}{\pi}.$$
Приравняем к нулю. На отрезке $\left[-\dfrac{2\pi}{3};0\right]$ синус неположителен, поэтому $-12\sin x\ge0$. Значит уравнение $y'=0$ решений не имеет — критических точек внутри нет.
Значит $y'>0$ всюду — функция возрастает, и наименьшее значение в левом конце.
Поэтому искомое значение — в конце отрезка $x=-\dfrac{2\pi}{3}$. Подставим и вычислим:
$$12\cdot\left(-\dfrac12\right)-30-4=-40.$$