Наибольшее или наименьшее значение на отрезке достигается либо в критической точке, либо на конце отрезка. Начнём с производной:

y'=-12\sin x+\dfrac{45}{\pi}.

Приравняем к нулю. На отрезке \left[-\dfrac{2\pi}{3};0\right] синус неположителен, поэтому -12\sin x\ge0. Значит уравнение y'=0 решений не имеет — критических точек внутри нет.

Значит y'>0 всюду — функция возрастает, и наименьшее значение в левом конце.

Поэтому искомое значение — в конце отрезка x=-\dfrac{2\pi}{3}. Подставим и вычислим:

12\cdot\left(-\dfrac12\right)-30-4=-40.