Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043231

Ищем точку минимума — место, где убывание функции сменяется ростом. Функция — произведение, так что используем правило $(uv)'=u'v+uv'$.

Пусть $u=(x+9)^{2}$, $u'=2(x+9)$; $v=x+3$, $v'=1$. Число $7$ даёт ноль:

$$y'=2(x+9)(x+3)+(x+9)^{2}.$$

Вынесем общий множитель $(x+9)$:

$$y'=(x+9)\bigl(2x+6+x+9\bigr)=(x+9)(3x+15)=3(x+9)(x+5).$$

Нули: $x=-9$ и $x=-5$. Знаки. При $x=-10$: $3\cdot(-1)\cdot(-5)\gt 0$ — функция растёт. При $x=-7$: $3\cdot 2\cdot(-2)\lt 0$ — убывает. При $x=0$: $3\cdot 9\cdot 5\gt 0$ — растёт.

В точке $x=-9$ рост сменяется убыванием — там максимум. В точке $x=-5$ убывание сменяется ростом — это точка минимума.

Проверим себя другим способом. Раскроем скобки: $(x+9)^{2}(x+3)=x^{3}+21x^{2}+135x+243$, и производная $3x^{2}+42x+135=3\left(x^{2}+14x+45\right)=3(x+5)(x+9)$ — то же самое.