Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043219

Ищем наибольшее значение на отрезке $[-14;-12]$. Функция — произведение $(x+15)^{2}$ и $e^{-13-x}$, производную берём по правилу $(uv)'=u'v+uv'$.

Производная $(x+15)^{2}$ равна $2(x+15)$. Производная $e^{-13-x}$ равна $-e^{-13-x}$, потому что производная показателя $-13-x$ равна $-1$.

$$y'=2(x+15)e^{-13-x}-(x+15)^{2}e^{-13-x}=e^{-13-x}(x+15)\bigl(2-(x+15)\bigr)=-e^{-13-x}(x+15)(x+13).$$

На отрезке $[-14;-12]$ скобка $x+15$ положительна (от $1$ до $3$), экспонента тоже положительна. Значит, знак $y'$ противоположен знаку $x+13$.

При $x\lt -13$ скобка $x+13$ отрицательна, и $y'\gt 0$ — функция растёт. При $x\gt -13$ — убывает. Итак, наибольшее значение в точке $x=-13$.

Посчитаем: $x+15=2$, а показатель $-13-x=-13+13=0$, и $e^{0}=1$:

$$y(-13)=2^{2}\cdot e^{0}=4\cdot 1=4.$$

Проверим себя концами: $y(-14)=1^{2}\cdot e^{1}=e\approx 2{,}72$ и $y(-12)=3^{2}\cdot e^{-1}=\dfrac{9}{e}\approx 3{,}31$. Оба значения меньше $4$.